يُعتبر الانحراف المعياري قياس أحد المفاهيم الأساسية في علم الإحصاء وتحليل البيانات، ويساعد هذا المقياس في قياس توزيع البيانات وفهم مدى تشتتها وانحرافها عن المتوسط العام، ويشكل فهم هذا المفهوم جزءًا أساسيًا من الأساسيات الإحصائية التي يحتاجها العديد من الباحثين والمحللين لفهم وتفسير البيانات.

الانحراف المعياري قياس

يعبر الانحراف المعياري قياس عن قدرة البيانات على التشتت حول متوسطها العام، ويتمثل هذا المقياس في الجذر التربيعي للانحراف المعياري، حيث يعبر عن مدى انحراف القيم عن المتوسط العام، وإذا كان الانحراف المعياري القياسي صغيرًا، فإن البيانات تكون قريبة من المتوسط، بينما إذا كان كبيرًا، فإن البيانات تتنوع بشكل أكبر.
شاهد أيضاً: كلام عن الرياضيات لكبار العلماء

كيفية حساب الانحراف المعياري القياسي

يتم حساب الانحراف المعياري القياسي عن طريق تحديد الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط العام، ثم رفع هذا الفرق إلى التربيع وجمع النتائج، وبعد ذلك يتم حساب المتوسط العام لهذه القيم وبعد ذلك يتم استخراج الجذر التربيعي للناتج والصيغة الرياضية لحساب الانحراف المعياري القياسي هي كالتالي:

[ sigma = sqrt{frac{sum_{i=1}^{n} (x_i – bar{x})^2}{n}} ]

حيث:

( sigma ) هو الانحراف المعياري القياسي.
( n ) هو عدد القيم في مجموعة البيانات.
( x_i ) هي قيمة كل فرد في مجموعة البيانات.
( bar{x} ) هو المتوسط العام لمجموعة البيانات.

أمثلة على الانحراف المعياري القياسي

لفهم كيفية حساب الانحراف المعياري القياسي، دعونا نستعرض أمثلة عملية توضح الخطوات الأساسية مع العلم أن هذه الأمثلة توضح خطوات حساب الانحراف المعياري القياسي وكيف يمكن استخدامه لفهم توزيع البيانات وقياس التشتت:

المثال 1: مجموعة بيانات صغيرة

لنفترض أن لدينا مجموعة بيانات صغيرة تتألف من الأعداد التالية: 2, 4, 4, 4, 5.

حساب المتوسط: [ bar{x} = frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5}{5} = frac{19}{5} = 3.8 ]
حساب الفروق ورفعها إلى التربيع: [ (2-3.8)^2 = 3.24, , (4-3.8)^2 = 0.04, , (4-3.8)^2 = 0.04, , (4-3.8)^2 = 0.04, , (5-3.8)^2 = 1.44 ]
حساب المتوسط العام للفروق المرفوعة إلى التربيع: [ frac{3.24 + 0.04 + 0.04 + 0.04 + 1.44}{5} = frac{4.8}{5} = 0.96 ]
استخراج الجذر التربيعي: [ sigma = sqrt{0.96} approx 0.98 ]

المثال 2: مجموعة بيانات أكبر

لنأخذ مجموعة بيانات أكبر: 10, 20, 30, 40, 50.

حساب المتوسط: [ bar{x} = frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = frac{150}{5} = 30 ]
حساب الفروق ورفعها إلى التربيع: [ (10-30)^2 = 400, , (20-30)^2 = 100, , (30-30)^2 = 0, , (40-30)^2 = 100, , (50-30)^2 = 400 ]
حساب المتوسط العام للفروق المرفوعة إلى التربيع: [ frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = frac{1000}{5} = 200 ]
استخراج الجذر التربيعي: [ sigma = sqrt{200} approx 14.14 ]

المثال 3: مجموعة بيانات متنوعة

لنأخذ مجموعة بيانات متنوعة: 5, 10, 15, 25, 40.

حساب المتوسط: [ bar{x} = frac{5 + 10 + 15 + 25 + 40}{5} = frac{95}{5} = 19 ]
حساب الفروق ورفعها إلى التربيع: [ (5-19)^2 = 196, , (10-19)^2 = 81, , (15-19)^2 = 16, , (25-19)^2 = 36, , (40-19)^2 = 441 ]
حساب المتوسط العام للفروق المرفوعة إلى التربيع: [ frac{196 + 81 + 16 + 36 + 441}{5} = frac{770}{5} = 154 ]
استخراج الجذر التربيعي: [ sigma = sqrt{154} approx 12.41 ]

شاهد أيضاً:فوائد الرياضيات للعقل

أنواع الانحراف المعياري القياسي

الانحراف المعياري القياسي هو مقياس لتوزيع البيانات وتشتتها حول المتوسط العام، وهناك نوعان رئيسيان من الانحراف المعياري، وهما:

الانحراف المعياري العيني (Sample Standard Deviation)

يستخدم هذا النوع من الانحراف المعياري عندما يتم حسابه باستخدام عينة من البيانات بدلاً من مجموعة كاملة. الصيغة لحساب الانحراف المعياري العيني تكون كالتالي: [ s = sqrt{frac{sum_{i=1}^{n} (x_i – bar{x})^2}{n-1}} ] حيث:

( s ) هو الانحراف المعياري العيني.
( n ) هو عدد القيم في العينة.
( x_i ) هي قيمة كل فرد في العينة.
( bar{x} ) هو المتوسط العيني للعينة.

الانحراف المعياري للمجموعة الكلية (Population Standard Deviation)

يستخدم هذا النوع من الانحراف المعياري عندما يتم حسابه باستخدام كل مجموعة البيانات بأكملها، وليس عينة، والصيغة لحساب الانحراف المعياري للمجموعة الكلية تكون كالتالي: [ sigma = sqrt{frac{sum_{i=1}^{N} (x_i – mu)^2}{N}} ] حيث:

( sigma ) هو الانحراف المعياري للمجموعة الكلية.
( N ) هو عدد القيم في المجموعة الكلية.
( x_i ) هي قيمة كل فرد في المجموعة.
( mu ) هو المتوسط العام للمجموعة.

يجدر الإشارة إلى أن الفرق الرئيسي بين الانحراف المعياري العيني والانحراف المعياري للمجموعة الكلية يكمن في القسمة على ( n-1 ) في الحالة العينية لتعويض الانحرافات العشوائية بشكل أفضل.
شاهد أيضاً:+200 عبارات عن الرياضيات

أهمية الانحراف المعياري القياسي

يعتبر الانحراف المعياري من الأدوات الأساسية في الإحصاء وله أهمية كبيرة في مختلف المجالات للأسباب التالية:

تقدير للتباين: يعكس الانحراف المعياري القياسي مقدار التشتت في البيانات، مما يمكن المحللين من فهم درجة التباين بين القيم ومدى انحرافها عن المتوسط.
مقارنة بين مجموعات مختلفة: يُستخدم الانحراف المعياري القياسي لمقارنة توزيعات البيانات بين مجموعات مختلفة، مما يفيد في تحليل الفروق بينها.
تحديد القيم غير العادية: يُساعد الانحراف المعياري القياسي في تحديد القيم غير العادية أو الفردية التي تتمتع بانحراف كبير عن المتوسط، مما يشير إلى أهمية هذه القيم.

شاهد أيضاً:حاسبات ومعلومات علمي علوم
في نهاية حديثنا اليوم يُعتبر الانحراف المعياري قياس أداة قوية من أجل تحليل البيانات ومن أجل فهمها، وبالتالي يسهم في رسم صورة أكثر دقة حول توزيع القيم، مما يمكن الباحثين والمحللين من اتخاذ قرارات مستنيرة بناءً على التحليل الإحصائي للبيانات.

الانحراف المعياري قياس | أهم أنواعه